Методы решения физико-математических задач

Определение и свойства показательной функции

Определение показательной функции
Определение и свойства показательной функции на множестве натуральных, целых и рациональных чисел. Определение на множестве действительных чисел посредством предела последовательности. Теорема о свойствах показательной функции.

Определение показательной функции

Определение на множестве натуральных чисел

Показательная функция, зависящая от натурального аргумента
Показательная функция f(n) = an, с основанием a, зависящая от натурального аргумента n – это произведение n множителей, каждый из которых равен a:
.
Здесь .
Свойства показательной функции, зависящей от натурального аргумента
При
показательная функция обладает следующими свойствами, вытекающих из правил умножения чисел:
(1.1)   a x > 0  при  a > 0;
(1.2)   строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1;
(1.3)   ;
(1.4)   ;
(1.5)   .

Определение на множестве целых чисел

Если положить:
(1.6)   ,
(1.7)   ,
то показательная функция становится определенной и для целых чисел. При этом свойства (1.1)(1.5) по прежнему выполняются, в которых , . Подробнее ⇓

Определение на множестве рациональных чисел

Если положить:
(1.8)   ,
где , то показательная функция становится определенной и для рациональных чисел . При этом выполняются свойства (1.1) - (1.7). В них , . Подробнее ⇓

Определение на множестве действительных чисел

Далее, основываясь на свойствах показательной функции (1.1) - (1.8), определенной на множестве рациональных чисел, мы определяем эту функцию на множестве действительных чисел и даем доказательство ее свойств.

Лемма
Пусть последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу x:
.
И пусть a > 0.
Тогда существует предел последовательности :
,
и этот предел может зависеть от числа x, но не зависит от последовательности .
Доказательство

Основываясь на этой лемме, можно определить показательную функцию, зависящую от действительного аргумента.

Определение
Показательная функция
Пусть a > 0; a, x ∈ ℝ.
Показательная функция f(x) = ax с основанием a – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Это определение справедливо и в случае, если x является рациональным числом. При этом совпадает со значением показательной функции, определяемом на множестве рациональных чисел. Чтобы убедиться в этом, достаточно в качестве последовательности взять последовательность с постоянными членами .

Теорема. Свойства показательной функции

Пусть a, b, x, x1, x2 – действительные числа.
Пусть a > 0, b > 0.
Показательная функция имеет на множестве действительных чисел следующие свойства:
(R.0)   определена, при , для всех
(R.1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(R.2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(R.3)   ;
(R.3*)   ;
(R.4)   ;
(R.5)   ;
(R.5*)   ;
(R.6)   ;
(R.7)   ;
(R.8)   непрерывна для всех ;
(R.9)     при ;
  при .
Доказательство

Доказательство свойств на множестве целых чисел

Исследуем вопрос – что будет, если для функции, обладающей свойствами (1.3)(1.5), присвоить отрицательные значения аргумента? Положим
.
Умножим это уравнение на и воспользуемся свойством (1.3):
.
Поскольку , то мы получаем:
.
Отсюда , или
.
В частности, .

Таким образом, свойства (1.3)(1.5) выполняются для отрицательных и нулевого значения n, если положить:
;
.
Тем самым мы определили значения показательной функции для целых чисел. Однако это возможно не для всех значений основания a. Поскольку деление на нуль не возможно, то .

Доказательство свойств на множестве рациональных чисел

Теперь рассмотрим вопрос об определении показательной функции для рациональных значений аргумента. Пусть есть рациональное число. Его можно представить в виде дроби:
,
где – целое, – натуральное.

Возьмем самый простой случай. Пусть . Рассмотрим уравнение:
.
Умножим его левую и правую части на себя n раз. То есть возведем в степень n и применим свойство (1.4):
;
(Q.1)   .
Таким образом, есть корень степени n из a:
.
Для любого и для , существует единственное решение уравнения (Q.1) в области действительных чисел (см. «Доказательство существования и единственности корня степени n»).

Далее мы используем свойства корней:
(Q.2)   ;
(Q.3)   .
(Q.4)   .
(Q.5)   .

Свойство (Q.2) выполняется при . Покажем, что оно также справедливо и при . При доказательстве мы будем использовать (1.1)(1.7) для целых значений x и свойства (Q.2)(Q.5) с для корней.
Пусть . Тогда

.
Итак, (Q.2) справедливо и для . То есть оно выполняется для целых m и натуральных n.

В силу свойства (Q.2), мы можем определить значения показательной функции для рациональных значений аргумента:
.

Используя свойства (1.3)(1.5) для целых значений аргумента и свойства корней (Q.2)(Q.4), можно доказать, что (1.3)(1.5) выполняются и для рациональных значений аргумента показательной функции.

Докажем свойство (1.3). Поскольку x и y рациональные, то их можно выразить через целые и натуральные числа: . Тогда

.

Докажем свойство (1.4).

.

Докажем свойство (1.5). Пусть . Тогда

.

Доказательство леммы

Лемма
Пусть последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу x:
.
И пусть a > 0.
Тогда существует предел последовательности :
,
и этот предел может зависеть от числа x, но не зависит от последовательности .
Доказательство

1. Докажем существование предела
.

Поскольку последовательность сходится, то для нее выполняется условие Коши. Это означает, что имеется такая функция , при которой для любого выполняется неравенство:
(Л.1)     при  .

1.1. Пусть .
Докажем, что условие Коши выполняется для последовательности .

Подставим в (Л.1) . Тогда
(Л.2)     при  .
Применим лемму Бернулли. При имеем:
(Л.3)   .

Поскольку последовательность сходится к конечному числу, то она ограничена некоторым числом :
для всех n.
Поскольку показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел строго возрастает при a > 1, то
для всех m.

Обозначим . В силу свойства (1.1), . Подставим в (Л.3) и применим условие Коши (Л.1). При имеем:
.
Если положить , то
при .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого ,
при .
То есть выполняется условие Коши для последовательности . Тогда на основании критерия Коши, эта последовательность сходится.

1.2. Теперь рассмотрим случай . Сведем его к предыдущему. Положим . Тогда , . Мы доказали, что последовательность сходится. Единицу в числителе можно рассматривать как элемент последовательности с постоянными членами, равными 1. Тогда, на основании арифметических свойств, существует предел частного последовательностей .

2. Теперь докажем, что предел не зависит от выбора последовательности .
Пусть мы имеем две, сходящиеся к x, последовательности и :
.
Мы доказали, что существуют пределы
  и  .
Теперь нам нужно доказать, что .

Составим последовательность так, чтобы последовательности и являлись ее подпоследовательностями. Для нечетных n, положим ; для четных: . Последовательность имеет предел . Тогда, согласно доказанному выше, существует предел . Далее замечаем, что последовательности и являются подпоследовательностями последовательности . Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то
.

Лемма доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню