Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка
Здесь мы рассматриваем пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера. Методы решения уравнения Эйлера подробно рассмотрены на странице
“Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >”.
Пример
Решить дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка
(1) .
Решение
Ищем общее решение однородного уравнения второго порядка:
(2) .
Ищем решение в виде
. Тогда
;
.
Подставляем в (2):
.
Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение второго порядка:
.
Преобразуем.
;
;
.
Получили два действительных корня:
.
Им соответствуют два линейно независимых решения:
(3) .
Общее решение уравнения:
(4) .
Далее считаем, что постоянные C1 и C2 являются функциями от x. Находим производные.
.
Положим
(5) .
Тогда
;
.
Подставим в (1):
(1) ;
.
Поскольку функции и удовлетворяют уравнению (2), то часть членов сокращается. Остается:
.
Таким образом, вместе с (5) мы получили систему уравнений:
.
.
Подставляем:
.
;
;
.
Из второго:
.
Подставим в первое:
.
Интегрируем:
.
Здесь – постоянная интегрирования.
Интегрируем по частям:
.
Подставляем:
;
;
.
Находим .
;
.
Итак, мы нашли:
;
.
Общее решение:
;
;
.
Переобозначив постоянные, окончательно имеем.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: